方法和理论工具,它体现了以局部看整体、以微观表宏观、用近似值描述精确值的数学思想,展现了化整为零、以常代变、积零为整的数学处理方法,充分体现了极限思想的实质以及从精确到近似,再从近似到精确的过程,进而展示了数学上的曲与直之间、变与不变之间、无限与有限之间的看似矛盾却能相互融合的转化。微元法在实际中有着相当广泛的应用,是分析不规则几何量与不规则物理量重要的工具。例如,应用微元法可以计算不规则几何体的体积、不规则曲线的长度、不规则曲面的面积,可以计算变力作用下质点沿曲线运动中所做的功、密度分布不均匀的物体的质量、任一刚体对转轴的转动惯量、任意带电体电场的电势分布、电流在任一点的磁感应强度、通电导线在磁场中所受到的磁场力等。
  但是由于微元法的内容相对“抽象”,导致教师在教学中很难做到将其“生动体现”,而学生也觉得枯燥难学,因此很难做到深入理解这种数学思想,从而成了让老师难教、学生不愿学的“硬骨头”。
  如何选择教学方法和手段,如何让我们的学生掌握微元法的思想,并能在今后的学习和生活中灵活应用,是一个很值得老师们思考的问题。作为一名多年从事教学工作的教师,笔者认为在教学中应该注意以下问题。
  一、掌握学生学情,因材施教
  学生是教学的主体,教学是为学生服务的,因此在设计教学过程之前一定要了解学情。现在我们的高等教育已经从“精英教育”转为“大众化教育”,教师们也要意识到,由“大众化教育”所带来的学生基础差异大、学生的学习态度千差万别、部分学生对学习缺乏好奇心、学习不够努力等等现象都是正常的。作为教师,从教书育人的角度出发,要因材施教,针对不同基础的学生、不同学科的学生、不同程度要求的学生,对教学内容要做不同的处理和分析,不能一概而论。
  二、阐明理论依据,扎实基础
  在教学中,我们往往利用定积分定义求整体量精确值的过程来推导微元法的理论依据,即借助于定积分概念的推导过程——曲边梯形面积的计算等问题导出的,通过“大化小、常代变、近似和、取极限”这四个步骤推导出来的。
  例:求由函数y=f(x)(f(x)>0)、x轴及直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积。因为面积具有可加性,因此可以做如下处理:
  1.大化小:将区间[a,b]任意分割成n个小区间,即在a、b之间任意插入n-1个分点x0=a   例:设一个直角三角形,其三边分别由x轴、直线x=h及直线OP(其中P(h,r))构成,计算将该三角形绕x轴旋转一周后构成的圆锥体的体积和它的侧面积。
  解:过原点O及点P(h,r)的直线方程为y=■x,
  (1)在[0,h]上任取一个小区间[x,x+dx],圆锥体中[x,x+dx]所对应的薄片的体积可以圆柱体的体积来近似计算,该圆柱体的底半径为■x、高为dx,因此圆锥体的体积的微分表达式为:dV=π(■x)2dx,
  因此所求圆锥体的体积为:V=■π(■x)2dx=■πr2h。
  (2)类似的,在[0,h]上任取一个小区间[x,x+dx],圆锥体中[x,x+dx]所对应的薄片的侧面积可以圆柱体的侧面积来近似计算吗?该圆柱体的底半径为■x、高为dx,那么圆锥体的侧面积的微分表达式取为dS=2π■xdx,这样的分析对吗?答案是否定的。
  事实上,ΔS=S(x+dx)-S(x)=π■■(x+dx)2-π■■x2=2π■■xdx+π■■(dx)2
  即侧面积微元的正确取法是:dS=2π■■xdx
  侧面积S=■2π■■xdx=πr■
  显然,如果取dS=2π■xdx,这与“△S与dS相差一个比dx高阶的无穷小”相违。
  而解答(1)中体积微元dV=π(■x)2dx的取法是正确的,因为ΔV=V(x+dx)-V(x)=■π■(x+dx)3-■π■x3=π■x2dx+π■(dx)2+■π■(dx)3π■(dx)2+■π■(dx)3是比dx高阶的无穷小量。
  四、结合案例,提高应用能力
  将由微元法推导的定积分公式应用到案例分析中,增强学生的求知欲,提高应用及分析解决问题的能力。
  意大利数学家托里拆利(Evangelista Torricelli)将 y=1/x中x≥1的部分绕着x轴旋转了一圈,得到了数学上著名的托里拆利小号。使用旋转体的体积(V)和旋转曲面的面积(A)公式,可得:
  V=■■πy2dx=■■π■dx=π
  A=■■2πy■dx=2π■■■dx>2π■■■dx=∞
  因此可以得到托里拆利小号的一个性质——它的表面积无穷大,可它的体积却是π。这明显有悖于人的直觉:体积有限的物体,表面积却可以是无限的!换句话说,填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆,但把托里拆利小号的表面刷一遍,却需要无限多的油漆!这可以引导学生对该看似谬论的问题进行思考和分析,从而使学生对极限理论和微元法的思想有更深入的思考。
  归根结底,微元法是高等数学中的重要的思想方法,是微积分的灵魂。在教学中要因材施教,针对学生的基础和学习需要,选择合适的教学手段和方法,利用理论教学与案例讲解相结合的教学模式,激发学生的兴趣,引导学生学会应用微元分析法解决实际问题。
  参考文献:
  [1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京:高等出版社,2008.
  [2]华东师范大学数学系.数学分析[M].:高等教育出版社,1991.
  [3]祝之光.物理学[M].北京:高等教育出版社,1987.